1 前言 并聯機構具有剛度大、承載能力強、位置精度高、響應快等許多串聯機構所沒有的優(yōu)點其應用前景十分廣闊。近幾年來引起了機床領域研究學者及產業(yè)界的廣泛重視。然而這類機構的運動學和動力學求解問題比較復雜．是機構學研究的難點之一。另外，在對并聯機構機械結構系統的動力學分析中，一般都是將系統結構作為剛性體進行處理，這樣只能進行力的分析，無法分析力作用下的位移。本文介紹一種新的并聯機構的剛度解析方法即將系統結構作為柔性體處理可直接求解系統的剛度，具有獨特優(yōu)點。下面以3-RPS并聯機構為例進行說明。我們把這種機構作為獨立的并聯機構用于混聯式數控機床。 在3-RPS機構的設計過程中，贅個機構的剛度取決于組成機構的各構件要素(桿件和關節(jié))的剛度，如何合理設計各桿件的結構參數使機構在各種位姿及外力作用下剛度均衡是設計的關鍵。
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圖1 3自由度并聯機構模型
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2 機構組成 3-RPS 并聯機構部件由動平臺、定平臺及連接兩平臺的二個分支組成，如圖1 所示，其中三個分支與定平臺相連的運動副為轉動副(R) ，與動平臺相連的運動副為球面副(S) , R和S兩個運動副之間為移動副(P)。由機構的運動學分析可知．該機構具有沿Z軸的移動和繞X軸與Y軸的轉動(等效的瞬時轉軸)三個自由度當機構的移動副作長度變化時，運動平臺的位姿隨之變化。 3 關節(jié)的邊界元法合成邊界元法是把對象的控制微分方程式變換成邊界上的積分方程式，然后把該積分方程式離散，進行求解。由于邊界元法只對對象的邊界進行處理，因此，可以把考慮問題的維數降低一維。對于桿類零件，由于領域為一維領域，故其邊界就是點，與有限元法相比邊界單元的數目和節(jié)點的數目少，數據輸入的準備工作簡單，需要的計算機容量小，計算速度快。
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圖2 子結溝坐標示意圖
| 并聯機器人機構是桿系機構各桿件通過各種關節(jié)相連接，可作為桿類機械結構系統進行性能分析。單個桿是該系統的一個子結構，利用邊界元法可得到每個子結構的邊界方程式，然后找出相聯接的子結構間的邊界關系，即結合條件式。最后利用結合條件式對各子結構的邊界方程式聯立求解，得出整個系統的邊界力和位移，繼而求得系統的靜剛度。 如圖2所示的兩個子結構合成求解的過程如下。 子結構的方程式
| { |
Fa |
} |
=[K1] |
{ |
Xa |
} |
+{P1} |
| Fb |
Xb | |
(1) |
| { |
Fc |
} |
=[K2] |
{ |
Xc |
} |
+{P2} |
| Fd |
Xd | |
(2) | 式中：K1、K2分別為子結構1和2的剛性系數矩陣(包括拉壓、彎曲及扭轉)，取決于各子結構的長度、截面特牲等結構參數及材料特性參數；P1、P2分別為作用于子結構上的外力的力矢量；Fa、Fb、Fc、Fd和Xa、Xb、Xc、Xd分別為兩個子結構在邊界點處的力矢最和位移矢量它們分別包括六個坐標方向的力、力矩或位移、轉角。例如Fa={Fa1 Fa2 Fa3 Fa4 Fa5 Fa6}T 結合條件式 當兩個子結構剛性聯接時，聯接點處的力大小相等，方向相反，而且位移相等，故結合條件式為： 位移結合條件：
| [0 -IC I 0]{Xa Xb Xc Xd}T=0 |
(3) | 力結合條件：
| [0 -IC I 0]{Fa Fb Fc Fd}T=0 |
(4) | 式中：I表示單位矩陣；C表示坐標轉換矩陣。當子結構相互之間采用關節(jié)聯接時，繞其關節(jié)軸的自由度不受約束即繞關節(jié)軸的力矩為零，位移為剛體運動導致子結構邊界方程在聯立求解時無解，因此不能在結合條件式中包含相應的力矩和位移。由于繞關節(jié)軸的力矩為已知量，故子結構方程式中的該元素可作為邊界條件。如圖2 所示，兩子結構在聯接處繞X1軸轉動的結合條件式如下：
| [0 -IC I 0]{Xa Xb Xc Xd}T=0 |
(5) |
| [0 -IC I 0]{Fa Fb Fc Fd}T=0 |
(6) | 式中：C為與非關節(jié)運動方向相關的坐標轉換矩陣。在關節(jié)方向的分童中，對應的力矩為零位移為未知量。 合成后系統的邊界方程 將式(5)、(6)代人式(1)、(2)中得到合成后的邊界方程式為
| { |
Fa |
} |
=[K] |
{ |
Xa |
} |
+{P} |
| Fd |
Xd | |
(7) | 式中：Xa、Fa為包含關節(jié)方向分量的桿1的邊界方程，[K]為合成后整個機械結構系統的剛性系數矩陣。 將所有已知的邊界條件代人式(7)中求解，即可解出系統中未知的邊界條件，從而獲得系統的剛度。
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圖3 3自由度并聯機構力學模型
| 4 3-RPS并聯機構剛度的邊界元法解析圖3所示為3-RPS并聯機構剛度分析的邊界元模型，O-XYZ為建立在定平臺上的總體坐標系，oi-xiyizi為建立在各子結構上的局部坐標系。F為作用在動平臺上的外力系(可為任意方向的力或力矩)。 由各分支機構中各桿件的長度、截面特性等結構參數獲得子結構方程式(1)中的剛性系數矩陣[K]；由各桿件局部坐標系相對于總體坐標系的姿勢獲得坐標轉換矩陣C；將已知的邊界條件值代氣式(7)求解出未知邊界條件。至此，獲得了在外力系F的作用下整個機械結構系統的變形、即系統的靜剛度。 要優(yōu)化系統結構提高系統的剛度，就必須合理設計系統中各子結構的結構參數，使系統的整體剛度最大。將整個機械結構系統的邊界條件通過坐標變換轉換為單個桿件的邊界條件，再次利用上面的解析過程，得出組成并聯機構所有桿件的受力狀態(tài)與力作用下的變形，為結構設計提供了依據。 如圖3所示，3-RPS并聯機構動平臺位姿矩陣為T，在Om點處作用力分別為Fx=1000N、Fy=1000N時計算各桿的受力狀況及系統剛度，如下表所示。
各分支的受力及系統剛度計算結果表
作用力(N) (相對于O-XYZ) 各分支承受的負載(相對于各分支的局部坐標系oi-xiyizi)(N) 系統剛度(N/µm)
A-a分支 B-b分支 C-c分支
| Fx=1000 |
Fz=-1515.5 |
Fz=757.76 |
Fz=757.76 |
112.8 |
| Fy=1000 |
Fz=370.5 |
Fz=370.5 |
Fz=370.5 |
942.4 |
| 注：由于在不考慮摩擦和桿件重力時，所求解出的各分支在其它方向的力為零，故只給出Fz |
| R= |
[ |
1 |
0 |
0 |
] |
為動平臺坐標系統在定平臺坐標系統的方向余弦矩陣，即姿勢； |
| 0 |
1 |
0 |
| 0 |
0 |
1 | P={Px Py Pz}T為動平臺坐標原點在定平臺坐標系的位置。 5 結束語本文將混聯機床中的3-RPS并聯機構作為桿類機械結構系統，將組成機構的各桿件作為柔性休，利用邊界法建立了該系統的靜力學模型。并在給定的位姿與作用力下，求解了系統的變形與剛度，計算結果表明，該機構受力合理。將本文所述方法與機構的運動學正逆解結合，可求解動平臺在任意位姿下的系統剛度．并能仿真分析系統在運動過程中的力的變化。 |
