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5.4  非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格

相對(duì)于結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格而言，非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格能夠更有效的適應(yīng)形狀不規(guī)則、邊界彎曲的復(fù)雜領(lǐng)域，以及依據(jù)不同的分辨率要求，分配求解域內(nèi)的網(wǎng)格。特別是三角形網(wǎng)格（對(duì)于二維問(wèn)題）和四邊形網(wǎng)格（對(duì)于三維問(wèn)題）。

5.4.1  非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的特點(diǎn)

在結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中，網(wǎng)格點(diǎn)總是分布在某種坐標(biāo)變換后的坐標(biāo)線(xiàn)上，在拓?fù)渖鲜且?guī)范的（個(gè)別變換的奇點(diǎn)除外），而非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格則不要求拓?fù)渖系囊?guī)范性。

非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的網(wǎng)格點(diǎn)在空間的分布比較自由，不要求每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)具有相同數(shù)量的鄰點(diǎn)，每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)參與構(gòu)成的單元數(shù)量也可以互不相同，網(wǎng)格點(diǎn)之間的連接不再具有方向性。在非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的劃分中沒(méi)有網(wǎng)格線(xiàn)的概念，因而能夠更為有效地適應(yīng)形狀不規(guī)則、彎曲邊界的復(fù)雜領(lǐng)域，以及依據(jù)不同的分辨率要求，分配求解域內(nèi)的網(wǎng)格。非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的劃分問(wèn)題都直接在物理平面（或物理空間）中討論。

以三角形單元網(wǎng)格為例，互相靠近的不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)（內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)），均可以相互連接而構(gòu)成一個(gè)計(jì)算單元，只要在這個(gè)三角形內(nèi)部以及其邊上，沒(méi)有其他的網(wǎng)格點(diǎn)。

5.4.2  非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的數(shù)值求解方法

非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的數(shù)值求解方法通常必須采用有限體積法建立差分方程。

有限體積法是介于有限差分法和有限元法之間的一種計(jì)算方法，它針對(duì)一個(gè)有限體積的單元體，通過(guò)差分離散建立差分方程。由于非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的網(wǎng)格劃分更接近于有限元的網(wǎng)格劃分思想，直接采用微分方程出發(fā)的差分方法很不方便，而必須采用從積分型方程出發(fā)。本文5.5節(jié)有詳細(xì)的介紹。

5.4.3  非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的生成

非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的生成大致可分為兩大類(lèi)：兩步法和一步法。

兩步法就是將非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的生成分為兩個(gè)步驟完成，第一步是在求解域內(nèi)生成網(wǎng)格點(diǎn)：第二步是把邊界上的網(wǎng)格點(diǎn)和內(nèi)部已生成的網(wǎng)格點(diǎn)，連接成合適的三角形網(wǎng)格劃分；

一步法則把網(wǎng)格點(diǎn)的生成與三角形單元的形成統(tǒng)籌考慮，在生成網(wǎng)格點(diǎn)的同時(shí)考慮連接關(guān)系，而在考慮三角形的連接時(shí)，又同時(shí)考慮網(wǎng)格點(diǎn)的增刪，這類(lèi)工作的代表是Delaunay方法。對(duì)于三角形網(wǎng)格單元，每個(gè)三角形越接近于正三角形時(shí)，網(wǎng)格的素質(zhì)越好。

本文中的非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格的生成是通過(guò)網(wǎng)格生成軟件包GAMBIT來(lái)實(shí)現(xiàn)的，采用的是Delaunay方法。

5.5  有限體積法求解過(guò)程

采用有限體積法，控制體選取為網(wǎng)格單元，將物理量置于網(wǎng)格單元中心，如圖5-1所示。

對(duì)方程（5-10）在單元i上積分，有

(5-14）式中，nb(i）表示單元i的相鄰單元數(shù)，下標(biāo)“i,j'”表示單元i和單元j的交界面，表示界面（i,j）處的無(wú)粘通量，表示界面（i,j）處的粘性通量，表示界面（i，j）的外法線(xiàn)單位矢量。

在三維的情況下，V_i為單元i的體積，A_i，j為界面（i,j）面積：在二維的情況下，V_i為單元i面積，A_i，j為界線(xiàn)（i,j）長(zhǎng)度；Γ_i表示單元i的Jacobian矩陣Γ。

5.5.1  無(wú)粘通量的確定

確定無(wú)粘通量的方法較多，大體上可以分成兩大類(lèi)。

一類(lèi)是中心型格式，這類(lèi)格式需要加入人工粘性來(lái)抑制間斷附近的非物理振蕩，因此，對(duì)于這類(lèi)格式必須較好的控制人工粘性系數(shù)，這帶有相當(dāng)大的人為性，并且難于找到普適的人工粘性系數(shù)，因此很不方便；

另一類(lèi)是迎風(fēng)型格式，應(yīng)用的較為廣泛的有TVD,ENO和NND等格式。非結(jié)構(gòu)性網(wǎng)格上的TVD和ENO格式在求解Euler方程的時(shí)候，取得了較大的成功，但在粘性流體計(jì)算中需要借助于網(wǎng)格單元中與控制面相對(duì)的頂點(diǎn)值，因而對(duì)網(wǎng)格的依賴(lài)性較大，要求網(wǎng)格的均勻性較好。

然而，在粘流的計(jì)算中，出于分辨邊界層的需要，網(wǎng)格在壁面法線(xiàn)方向相當(dāng)密集。在現(xiàn)有的計(jì)算條件下，采用均勻網(wǎng)格是做不到的。NND格式和基于Roe矢通量差分分裂的迎風(fēng)格式，只借助于控制面兩側(cè)單元中心點(diǎn)值，因而對(duì)網(wǎng)格均勻性的要求有所減弱。本文采用基于Roe矢通量差分分裂的迎風(fēng)格式。

計(jì)算無(wú)粘通量的時(shí)候，采用Roe矢通量差分分裂，有

ε為略大于零的數(shù)，一般取ε=0.05aM。

A₁由下式計(jì)算：A₁=|U_M|，A_2，3=|U_M±a_M|。

這樣，無(wú)粘通量的確定就轉(zhuǎn)化成了_L和_R的確定。若取

_L＝₁,_R=_j                      (5-17)

便可方便的得出一階精度格式。顯然，一階精度格式對(duì)于粘流的計(jì)算來(lái)說(shuō)是沒(méi)有應(yīng)用價(jià)值的。為了構(gòu)造高精度格式，必須尋求確定_L和_R的高精度方法。對(duì)于二階精度格式，_L和_R的表達(dá)式可由下式確定：

其中，（▽）_i和（▽）_j，分別為Q在單元i和j內(nèi)的梯度；k為界面（i,j）的中心，表示單元j中心到k的距離矢量，表示單元i中心到k的距離矢量。將（5-18)代入（5-16)，即可得到無(wú)粘通量�？梢宰C明，這樣確定的具有二階精度。

在（5-18）式，我們用到了原始變量的梯度（▽）_i和（▽）_j。在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中，物理量的梯度可以由高斯積分公式求得。令ф代表任一變量，則

其中，Ω為積分路徑構(gòu)成的封閉體，Ω為該封閉體的邊界面，為邊界面上的外法線(xiàn)單位矢量。原則上積分路線(xiàn)可以任意選擇，只要包圍計(jì)算點(diǎn)即可。

以二維情況為例，計(jì)算圖5-1中A點(diǎn)梯度可選C→B→D→C作為積分路徑，但為了保證積分的精度，最好使積分路徑構(gòu)成的封閉體形心與計(jì)算點(diǎn)重合，或至少比較接近。

但是，由（5-18）直接得到的格式在激波附近是不穩(wěn)定的，將會(huì)出現(xiàn)非物理振蕩。迎風(fēng)格式通過(guò)限制物理量的梯度值，來(lái)保證物理量在單元內(nèi)的分布具有單調(diào)性，從而達(dá)到抑制間斷附近非物理振蕩的目的。這時(shí)，（5-18）式變?yōu)?/p>

5.5.2  粘性通量的確定

粘性通量由控制面上的速度、壓力及密度的梯度項(xiàng)組成，所以粘性通量的計(jì)算主要是求出控制面上相關(guān)物理量的梯度值。首先由（5-19）式求出各單元內(nèi)物理量ф的梯度值后，界面（i，j）上物理量的梯度值可簡(jiǎn)單地由相鄰單元內(nèi)物理量ф的梯度值的算術(shù)平均得出：

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